ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y " из уравнения y=f(x) , то можно:
Примеры.
ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u v , где u=u(x), v=v(x) .
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.
Примеры.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x) , v=v(x) , С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
Примеры.
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a ; b ]. Производная этой функции в некоторой точке х 0 Î [a ; b ] определяется равенством
.
Следовательно, по свойству предела
Умножая все члены полученного равенства на Δx , получим:
Δy = f " (x 0)·Δx + a·Δx.
Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f " (х 0) ≠ 0) главная часть приращения , линейная относительно Δx , а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx . Главную часть приращения функции, т.е. f " (х 0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х 0 и обозначают через dy .
Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f " (x ) в точке x , то произведение производной f " (x ) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:
Найдем дифференциал функции y= x . В этом случае y " = (x )" = 1 и, следовательно, dy =dx =Δx . Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δx . Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
dy = f "(x )dx |
Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f "(x ) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.
Справедливо и обратное утверждение.
Если для данного значения x приращение функции Δy = f (x +Δx ) – f(x) можно представить в виде Δy = A ·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x , то эта функция имеет производную в точке x и f "(x )=А .
Действительно, имеем , и так как при Δx →0, то .
Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox . Дадим независимой переменной x приращение Δx , тогда функция получит приращение Δy = NM 1 . Значениям x +Δx и y +Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M 1 (x +Δx ; y +Δy ).
Из ΔMNT находим NT =MN ·tg α. Т.к. tg α = f "(x ), а MN = Δx , то NT = f "(x )·Δx . Но по определению дифференциала dy =f "(x )·Δx , поэтому dy = NT .
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y =f "(u ) имеет вид dy = f "(u )du .
Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)) . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Следовательно, по определению
Но g "(x )dx = du , поэтому dy= f"(u)du .
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u) , для которой u=g(x) , имеет тот же вид dy=f"(u)du , какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.
Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала .
Пример. . Найти dy .
Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим
.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y 0 =f(x 0 ) и ее производной y 0 " = f "(x 0 ) в точке x 0 . Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x .
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy =dy +α·Δx , т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy ≈dy или Δy »f "(x 0 )·Δx .
Т.к., по определению, Δy = f (x ) – f (x 0 ), то f(x) – f(x 0) ≈f "(x 0 )·Δx .
Примеры.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a ; b ]. Значение производной f "(x ), вообще говоря, зависит от x , т.е. производная f "(x ) представляет собой тоже функцию переменной x . Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y ""или f ""(x ). Итак, y "" = (y ")".
Например, если у = х 5 , то y "= 5x 4 , а y ""= 20x 4 .
Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y"""или f"""(x ).
Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y (n) или f (n) (x ): y (n) = (y (n-1))".
Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.
Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆ x .
Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f ′( x )∙∆ x или dy = f ′( x )∙ dx .
Замечание:
Сравнение дифференциала с приращением.
Пусть ∆ y и ∆xодного порядка малости.
Dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.
α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.
.Дифференциал есть главная часть приращения функции .
Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую
более высокого порядка, чем приращение аргумента.
Геометрический смысл дифференциала функции.
dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.
Дифференциал равен приращению ординаты касательной.
Свойства дифференциала.
Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.
d ( u + v) = du + dv.
Дифференциал произведения d ( u v ) = du ∙ v + u dv .
Дифференциал сложной функции.
y = f(u), u = φ(x), dy = y′
x
dx =
dy = f ′( u ) du – инвариантность формы дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
dy
=
f
′(x
)∙
dx
,
отсюда
Гиперболические функции .
Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.
Определения.
Из определений гиперболических функций следуют соотношения:
ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.
Теорема Ролля.
Если функция f ( x ) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.
Геометрический смысл.
y
f (a ) = f (b ), k кас = 0.
A C B На гладкой дуге [ a , b ] найдется такая точка
f (a ) f (b ) С, в которой касательная параллельна хорде.
a ξ b x
Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция) .
Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Имеем гладкую дугу АВ.
На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.
Доказательство. Рассмотрим функциюF (x ) = f (x ) – λ x . Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.
F(x) – определена и непрерывна на [a , b ], т.к. определена и непрерывна функцияf (x ),.
F ′(x ) = f ′(x ) – λ − существует,
Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F (a ) = F (b ), т.е.f (a ) – λ a = f (b ) – λ b ,
По теореме Ролля найдется такая точка x = ξЄ(a , b ), чтоF ′(ξ) = 0, т.е.
Возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ.
1. Дифференциал функции
1.1. Определение дифференциала функции
С понятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.
Определение 1. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x , называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке
y = f (x + x) − f (x)
имеет вид
y = A · x + α(Δx) · x,
где A – постоянная, а функция α(Δx) → 0 при x → 0.
Пусть y = f (x) – дифференцируемая функция, тогда дадим следующее определение.
Определение 2. Главная линейная |
часть A · x |
приращения |
функции f (x) |
|
называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy. |
||||
Таким образом, |
||||
y = dy + α(Δx) · x. |
||||
Замечание 1. Величина dy = |
x называется |
главной линейной частью |
||
приращения y в связи с тем, что другая часть приращения α(Δx) · |
x при малых |
|||
x становится гораздо меньше A · |
Утверждение 1. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке
x + α(Δx) · x, при |
x → 0. Тогда |
|||||||||||
A + lim α(Δx) = A. |
||||||||||||
Поэтому производная f ′ (x) существует и равна A. |
||||||||||||
Достаточность. Пусть существует |
f ′ (x), т. е. существует предел lim |
F ′ (x). |
||||||||||
F ′ (x) + α(Δx), |
||||||||||||
y = f ′ (x)Δx + α(Δx) · x.
Последнее равенство означает дифференцируемость функции y = f (x).
1.2. Геометрический смысл дифференциала
Пусть l касательная к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) (рис. 1). Покажем, что dy величина отрезка P Q. Действительно,
dy = f ′ (x)Δx = tg α x = |
||||||||||||||||
" " l |
||||||||||||||||
"" " " |
||||||||||||||||
" α |
||||||||||||||||
Итак, дифференциал dy функции f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной l в этой точке.
1.3. Инвариантность формы дифференциала
Если x независимая переменная, то
dy = f ′ (x)dx.
Допустим, что x = ϕ(t), где t независимая переменная, y = f (ϕ(t)). Тогда
dy = (f (ϕ(t))′ dt = f ′ (x)ϕ′ (t)dt = f ′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).
Итак, форма дифференциала не изменилась, несмотря на то, что x не является независимой переменной. Это свойство и называется инвариантностью формы дифференциала.
1.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Из формулы y = dy + α(Δx) · x, отбрасывая α(Δx) · x, видно, что при малых
y ≈ dy = f ′ (x)Δx.
Отсюда получим
f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,
f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Формула (1) и используется в приближенных вычислениях.
1.5. Дифференциалы высших порядков
По определению, вторым дифференциалом от функции y = f (x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке, который обозначается
d2 y = d(dy).
Вычислим второй дифференциал:
d2 y = d(dy) = d(f ′ (x)dx) = (f ′ (x)dx)′ dx = (f ′′ (x)dx)dx = f ′′ (x)dx2
(при вычислении производной (f ′ (x)dx)′ учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).
Вообще, дифференциалом порядка n функции y = f (x) называется первый
дифференциал |
от дифференциала |
этой функции, который |
|||||||||||
обозначается через |
|||||||||||||
dn y = d(dn−1 y) |
|||||||||||||
dn y = f (n) (x)dxn . |
|||||||||||||
Найти дифференциал функции y = arctg x . |
|||||||||||||
Решение. dy = (arctg x)′ · dx = |
|||||||||||||
1+x2 |
|||||||||||||
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v = e2t . |
|||||||||||||
Решение. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 . |
|||||||||||||
Сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x3 + 5x2 . |
|||||||||||||
Решение. Находим |
|||||||||||||
5x2 = |
|||||||||||||
10x)Δx + (6x + 5)Δx |
|||||||||||||
dy = (6x2 + 10x)dx. |
|||||||||||||
Разность между приращением |
y и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего |
||||||||||||
порядка по сравнению с |
x , равная (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 . |
Пример 4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3, 02 м.
Решение. Воспользуемся формулой S = πr2 . Полагая r = 3 , r = 0, 02 , имеем
S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.
Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈
28, 66 (м 2 ).
Пример 5. Вычислить приближенное значение arcsin 0, 51 c точностью до 0,001. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x . Полагая x = 0, 5 , x = 0, 01 и
применяя формулу (1)
x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ · |
(arcsin x)′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
≈ arcsin 0, 5 + |
0, 011 = 0, 513. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − (0, 5)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Вычислить приближенно √ 3 |
c точностью до 0,0001. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = √ 3 |
и положим x = 8, |
x = 0, 01. Аналогично |
||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле (1) |
(√ 3 x)′ = |
√3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
√ x + x ≈ √ 3 x + (√ 3 x)′ · x, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3√ 3 64 |
· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
p 8, 01 ≈ √ 8 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Определение 3. Говорят, что функция y = f (x) имеет (или достигает) в точке α локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность U (α) точки α, что для всех x U (α) :
f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум.
Функция, график которой изображен на рис. 4, имеет локальный максимум в точках β, β1 и локальный минимум в точках α, α1 .
Утверждение 2. (Ферма) Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке α и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда f ′ (α) = 0.
Идея доказательства теоремы Ферма следующая. Пусть для определенности f (x) имеет в точке α локальный минимум. По определению f ′ (α) есть предел при x → 0 отношения
f (α + x) − f (α) |
||||
Но при достаточно малых (по абсолютной величине) x |
||||
f (α + x) − f (α) ≥ 0. |
||||
Следовательно, при таких |
x получаем |
|||
Отсюда и следует, что |
||||
f ′ (α) = lim g(Δx) = 0. |
||||
Проведите полное доказательство самостоятельно. |
||||
Утверждение 3. (Ролля) |
Если y = f (x) непрерывна на |
Дифференцируема на |
||
(a, b) и f (a) = f (b), то существует такая точка α (a, b), |
что f ′ (α) = 0. |
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдутся такие точки x1 , x2 , что
экстремум. По условию теоремы f (x) дифференцируема в точке α. По теореме Ферма f ′ (α) = 0. Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл (рис. 5): если крайние ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой y = f (x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ox.
Утверждение 4. (Коши) Пусть f (x), g(x) непрерывны на , дифференцируемы на (a, b) и g′ (x) =6 0 при любом x (a, b). Тогда найдется такая точка α (a, b), что
f ′ (α) |
|||
g′ (α) |
Доказательство. Заметим, что g(a) =6 g(b). Действительно, в противном случае для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, нашлась бы такая точка β (a, b), что g′ (β) = 0. Но это противоречит условию теоремы.
Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:
F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)
Функция F (x) непрерывна на , |
дифференцируема на (a, b). Кроме того, очевидно, |
|||||||||
что′ |
F (a) = F (b) = 0. Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка α (a, b), что |
|||||||||
F (α) = 0, т. е. |
||||||||||
f ′ (α) |
g′ (α) = 0. |
|||||||||
− g(b) |
||||||||||
Отсюда следует |
||||||||||
f ′ (α) |
||||||||||
g′ (α) |
Теорема доказана.
Утверждение 5. (Лагранжа) Если y = f (x) непрерывна на , дифференцируема на (a, b), то найдется такое α (a, b), что
F ′ (α).
Доказательство. Теорема Лагранжа прямо следует из теоремы Коши при g(x) =
Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой y = f (x) между точками
A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна хорде AB. y
значениях x и ее значения на концах отрезка |
Равны: f (1) = f (5) |
||||||||
теорема Ролля на этом отрезке |
выполняется. Значение c |
определяем |
уравнения |
||||||
f ′ (x) = 2x − 6 = 0, т. е. c = 3. |
найти точку |
M, в которой |
|||||||
Пример 8. На дуге |
AB кривой y = 2x − x |
||||||||
касательная параллельна хорде |
|||||||||
Решение. Функция y = 2x −x |
непрерывна и дифференцируема при всех значениях |
||||||||
x. По теореме Лагранжа между двумя значениями a = 1, |
b = 3 существует значение |
x = c, удовлетворяющее равенству y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), где y′ = 2 − 2x. Подставив соответствующие значения, получим
y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),
(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 − 2c),
отсюда c = 2, y(2) = 0.
Таким образом, точка M имеет координаты (2; 0).
Пример 9. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениями
x = t2 , y = t3 , найти точку |
M, в которой касательная параллельна хорде AB, если |
|||||||||||||||||
точкам A и B соответствуют значения t = 1 и t = 3. |
||||||||||||||||||
Решение. Угловой коэффициент хорды AB равен |
А угловой коэффициент |
|||||||||||||||||
касательной в точке M (при |
t = c) равен |
y′ |
(c)/x′ |
x′ = 2t, |
y′ = 3t2 . Для |
|||||||||||||
определения c по теореме Коши получаем уравнение |
||||||||||||||||||
yt ′ (c) |
||||||||||||||||||
xt ′ (c) |
||||||||||||||||||
т. е. c = 13/6.
Найденное значение c удовлетворяет неравенству 1 < c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).
Дифференциал
(первого порядка)
функции
-
это главная
часть ее приращения, линейная относительно
приращения аргумента. Дифференциал
аргумента равен его приращению:
.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал аргумента
.
Основные свойства дифференциала:
1.
,
где-const.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
,
.
6.
,
.
Форма дифференциала первого порядка
не зависит от того, является аргумент
функции независимой переменной или
функцией другого аргумента. В этом
состоит свойствоинвариантности
формы дифференциала первого порядка
.
Дифференциалом
второго порядка
функции
называется дифференциал от дифференциала
первого порядка:
.
Аналогично
определяется дифференциал
третьего порядка:
.Дифференциал
n
-го
порядка:
.
Если
и- независимая переменная, то дифференциалы
высших порядков вычисляются по формулам:
,
,…..,
.
Если
,
,
то
,
где дифференцирование функциивыполняется по переменной.
Это имеет место и для дифференциалов
более высоких порядков.
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.
Геометрически
дифференциал представляет собой
приращение ординаты касательной к
графику функции в точке
.
Если
приращение аргумента мало по абсолютной
величине, то
и.
Таким образом, дифференциал функции
может применяться для приближенных
вычислений.
Абсолютная
величина разности между истинным
значением какой-либо величины
и ее приближенным значениемназывается
абсолютной погрешностью
и
обозначается
.
Абсолютная
величина отношения абсолютной погрешности
к истинному значению называется
относительной
погрешностью
и обозначается
.
Относительная погрешность обычно
выражается в процентах
.
Если
приращение функции заменить ее
дифференциалом, то получим приближенное
значение приращения
.
В этом случае абсолютная погрешность
равна
,
а относительная погрешность будет
.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть
требуется вычислить значение функции
при
некотором значении аргумента,
истинная величина которого нам известна,
но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
.
Тогда
Отсюда
видно, что
.
Относительная погрешность функции выражается формулой
.
Пример
1.
Найти
дифференциал функции
.
Решение:
.
Пример
2.
Найти все
дифференциалы функции
.
Решение: ,
,
.
Пример
3.
Найти
для неявно заданной функции
.
Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную
,
тогда
.
Вычислим вторую производную
,
отсюда
.
Пример
4.
Выразить
дифференциал сложной функции через
независимую переменную и дифференциал:
,
,
.
Решение:
.
.
Пример
5.
Вычислить
приближенное значение
.
Решение:
Рассмотрим функцию
.
Полагая
,
и применяя формулу,
получим:
Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение:
Воспользуемся формулой
.
Полагая
,
,
имеем.
Следовательно, приближенное значение
площади круга составляет.
Пример
7.
Для функции
найти приращение ординаты касательной
и приращение функции при переходе
аргументаот значения
к
.
Решение:
согласно геометрическому смыслу
дифференциала, приращению ординаты
касательной соответствует дифференциал
функции
.
При
иполучим
.
Приращение функции находим по формуле
Следовательно,
приращение ординаты касательной равно
0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
,
то.
Пример
8.
Найти
дифференциал и приращение функции
в точке
и
.
Найти абсолютную и относительную
погрешности значения функции при замене
приращения функции ее дифференциалом.
Решение:
Имеем:
,
При
и
получим:
, .
Абсолютная
погрешность
,
а относительная погрешность
.
Пример
9.
При измерении
сторона куба
оказалась равной 4 см. При этом максимально
возможная погрешность измерения
находится в пределах
см.
Определить абсолютную и относительную
погрешности при вычислении объема куба.
Решение:
Объем куба равен
см.
Возможная
неточность измерения
.
Отсюда абсолютная погрешность .
Относительная
погрешность
.
Пример
10.
Найти
приближенно
.
Решение:
Полагаем
,
тогда
,
Если
принять
,
то
,
.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
1.
,
-?.
Ответ:
.
2.
,
-?
Ответ:
.
3.
,
-?
Ответ:
.
4.
,
-?
Ответ:
.
5.
,
,
,
-? Ответ:
.
,
.
6.
,
-?
7.
,
-? Ответ:
.
8.
,
-? Ответ:
.
9.
-? Ответ:
.
10.
-? Ответ:
.
11.
,
-? Ответ:
.
12.
,
-? Ответ:.
13.
,
.
-?
Ответ:
,
.
14.
,
,
-?
Ответ:
,
.
15.
-?
Найти приближенное значение:
16.
.
Ответ: 0,811.
17.
.
Ответ: 1,035.
18.
.
Ответ: 0,078.
19.
.
Ответ: 1,9938.
20.
.
Ответ: 2,02.
21.
.
Ответ:3,03.
22.
.
Ответ:
.
23.
.
Ответ:
.
24.
.
Ответ: 0,1.
25.
.
Ответ:
.
26.
Определить, на сколько приблизительно
увеличится объем шара, если его радиус
см
увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.
27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .
28.
Сравнить приращение и дифференциал
функции
.
Ответ:
,
.
29.
Вычислить
,
для функции
при
и
.
Ответ:
,
.
30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ:
.
31. Найти приближенное значение из уравнения:
Ответ:
.
32.
Найти приближенно значение объема шара
радиуса
.
Ответ:
.
33.
Ребра куба увеличены на 1см. При этом
дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см.
Найти первоначальную длину ребер.
Ответ: 2 см.
34.
Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал
площади круга оказался при этом равным
см.
Найти первоначальную величину радиуса.
Ответ: 3 см.
35.
Определить приблизительно относительную
погрешность при вычислении поверхности
сферы, если при определении ее радиуса
относительная погрешность составила
.
Ответ:
.
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.
Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.
Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.